「実数」って本当に実在するの？数学の深淵に迫る（2004年）

数学における「実数」という概念が、果たしてどれほど現実味を帯びたものなのかを問い直す、2004年の示唆に富んだ議論の記録です。

この論文をダウンロードしてからもう10年くらい経つけど、まだ読めてないな。でも考えてみると、もし空間や時間が量子化されているとしたら（最後に確認した時は未解決の問題だったし、今でもほぼ間違いなくそうだろうけど）、宇宙が無限大だったとしても、物理的な量として表現できないℝ（実数）上の数が存在するはずだよ。代数的数でさえ非物理的な数を含んでいる可能性があるんだ（時空の量子化の構造にもよるけど、構成可能な数よりは大きな数のサブセットになるかもしれないけれど）。

みんな実数の連続性の問題にこだわりすぎだと思う。僕自身は構成主義者／直観主義者として、実数という概念自体をちょっと否定的に見ているんだ。

でも、「有理数は離散的だ」とか「計算可能数は離散的だ」なんて言う時、それは測度論のドメインにおける非常に限定的な主張なんだよね。測度論なんて、際限のないパラドックスと内省的な戯言以外、ほとんど価値のあるものなんて生み出さない。同様に「有理数は可算だ」「計算可能数は可算だ」と言うのも、カントールの全単射による濃度測定の概念を当然視しているだけで、これも結局、価値のないパラドックスと戯言を生産するだけの理論だよ。

実用的な意味では、有理数はかなり連続的だよ。どんな2つの有理数の間にも無限（非有界）の数の有理数が存在するわけだし、整数のような「跳躍」という概念は存在しない。それに、あらゆる有用な数値は有理数で任意に精確に近似できるしね。

計算可能数ならなおさらそのギャップは小さい。有理数では近似しかできないけれど、計算可能数なら平方根の2に「完全に等しい」数値を持てる。なぜなら、計算可能数とは任意に精確な近似値を形成するためのアルゴリズムそのものだから。その計算可能数の二乗はそれ自体が計算可能であり、2に完全に等しくなる。

そもそも「実数」を使って何が得られるんだろう？計算不可能な数値を中心に形式体系を構築する苦労に見合うものって、実質的に何もないんじゃないかな。

それに、有理数や計算可能数に固執することが「物理的現実」への譲歩になりすぎていると心配するなら、安心していい。有理数だって実数と同じくらい非物理的だよ。どちらもすでに連続的だし、物理学は2つの十分に精確な有理数の差を測定する能力なんて与えてくれないし、実数を投げつければ物理学はエラーを吐き出すだけだからね。

10年前のBaezのブログ記事にも同じような面白い話があるよ：Surprises in Logic: https://math.ucr.edu/home/baez/surprises.html

複素数ってどれくらい複雑なんだろう？

5つの実数

このトピックならNorman Wildbergerの名前は外せないね。

Curt Jaimungalのポッドキャストでの素晴らしい議論がここにあるよ：

https://www.youtube.com/watch?v=l7LvgvunVCM

あと、正統派の立場をとるDaniel Rubinとの良いディベートもここにある：

https://www.youtube.com/watch?v=edh5bbgSKqo

Wildbergerは自分のチャンネルでこのトピックについてもっとたくさん発信しているよ。彼の議論はたとえ同意できないとしても、考えさせられる内容だ。

Chaitinの独創的な考え方、特に基礎論や複雑性、情報に関するアイデアを簡潔で消化しやすい短い証明で伝える能力は昔から尊敬しているんだ。

でも、彼が構成主義の議論で特定の側に立って布教しているのを見るのは少し驚きだ。彼といえば、新しい公理（例えば選択公理など）の採用は、それが新しくて面白い数学をもたらすことで正当化されるという、彼が「準経験的」アプローチと呼ぶものに関連づけていたはずだからね。

ところがここでは、実数は妥当な数である、あるいは（本人はそう考えているようだけど）そうではない、というプラトン的な結論に達することが目的のように見える。

僕のような素人の単純な見方としては、もしこれらのルール（この形式公理系）を採用すれば、ますます難解で複雑な無限濃度の遊び場で楽しく遊べるし、あるいは別の形式公理系を採用すれば、厳格な構成主義の体制下でどの結果が得られてどれが得られないかを発見できる。どちらの形式公理系を選ぼうとも、結局は公理を選んで、面白いと思える結果にたどり着くために妥当な演繹ステップを適用するという同じプロセスに過ぎないんじゃないかな。そこには、プラトン的な実在論とは無縁な「問題の解が存在する」ということ以上の「存在」は含意されていない。解く手順を踏めば、ちゃんと結果が導かれるというだけのことだよ。

思うに、実数の「存在」を含意する公理を避けることが物理学には有用だという主張なのだろうけど、過去200年間、無限小解析の微分方程式を使って現象を解明しようとしてきた分野でそう言うのは、なんだか違和感があるな。

計算可能／定義可能／「名前を付けられる」／構成可能な実数を指す、簡潔で馴染みやすい用語がないのは残念だね。僕たちが実際に量を表現し、数値演算を行うために使う形式と矛盾しない、最も一般的に認められた数のクラスなのに。「実数」という言葉を計算不可能・命名不可能な数の文脈で使うのは、「虚数」という言葉と同じくらい、ネーミングとしては不幸なものだと思っているよ。