エンジニアを悩ませる「数学の闇」とどう向き合うか

数学は時に、私たちのプログラミングに対する情熱を試すような「暗黒の夜」をもたらします。アルゴリズムやデータ構造の奥底に潜む複雑な数式に直面したとき、多くのエンジニアが挫折感を味わうものです。しかし、この壁を乗り越えた先にこそ、真の技術的飛躍が待っています。数学という難敵を、どう攻略し、日々の開発に活かすべきか。そのヒントを探ります。

「AIが人間よりも効率的に定理を証明し、理論を構築できるようになったとしても、たとえそれらの証明や理論が美しく興味深いものであり、かつエレガンスと明晰な思考で提示されていたとしても、数学者は依然としてこの『人知を超えた素晴らしい証明の数々』を評価し、提示し、理解し、鑑賞するという役割において居場所を持ち続けるだろう。私たちはこれからも数学を実践し、学び、教え、そして共に数学を追求していけるはずだ」

私は数学者ではありませんが、これに対する反論の余地はまったくないように思えます。数学とは究極的には関係性とそれによって導かれる結果の発見であり、LLMがいずれ追いつくのは当然のことです。しかし、彼らに決定的に欠けているのは、まさにそうした関係性を鑑賞する能力なのです。

著者は数学を精神的な探求と呼んでいます[1]。以前、LLMに神学的な話題を問いかけてみたことがありますが、驚くほど的確な回答が返ってきました（「トマス・アクィナスは、偽ディオニュシオスの否定的な神の記述をどう見ていたか」といった難しい質問でさえも）。これによって少しも動揺することはありません。なぜなら、それらの回答を評価し、理解し、価値を見出すのは依然として自分自身の責任だからです[2]。著者は、LLMのパターン認識能力が人間の理解や鑑賞を無意味にすると考えているようですが、それは論理的な飛躍であり、私には理解できません。著者は「有用性」と「目的」を混同しているのではないでしょうか？著者の現状を思うと胸が痛みますし、自分を大切にしてほしいと願いますが、やはり飛躍しすぎだと思います。そこまで深刻な話ではないはずです。

[1] しぶしぶ同意しますが、裏庭で家庭菜園を育てることもまた精神的な探求であるという注釈付きです。数学があなたを他より高める特別な学問というわけではなく、単に有用で興味深いものに過ぎません。

[2] もちろん、実際に自分で学んだり思考を深めたりしたい場合にLLMを頼ることはありません。自分自身で論理を組み立てたいというだけでなく、哲学、神学、あるいは深い議論といった分野では、それを書く人間の視点や経験を考慮する必要があるからです。LLMはみんなの視点を混ぜこぜにしてしまいます。

アートやクラフトと科学を区別する一つの方法はこれだ。もし魔法のランプの魔人が現れて、「お前のキャリアの発見作業をすべて省いて、今すぐ答えを全部教えてやろうか？」と持ちかけてきたとき、君が「いや、いい」と断るなら、君はたぶん科学をやっていないことになる。

私にとって、数学を学ぶ感情的な質は、発見と創造の行為と深く結びついている。それは社会的な営みだ。私たちは別の数学者（おそらく遠い昔に亡くなった人）と対話している。通信の連鎖を辿れば、独自の発見を楽しんだ一人の数学者にたどり着く。人間の数学とはタルムード的なものだ。それは数千年にわたる、哲学的かつ宗教的な豊かさを備えた活発な議論そのものだ。

これは本当に美しい。そして何が起きようと、二つのことは真実であり続けるはずだ。活発で哲学的な宗教的豊かさが歴史の中核であり続け、すべての人に何らかの形で触れ続けること。そして、それは時とともに大きく変化するだろうということ（数学がその一部として細々と残るかもしれないし、そうでないかもしれない）。

数学にはそういう側面がある。一方で、ウラジーミル・アーノルドが挑発的に語ったような別の側面もある。

数学はすべて三つに分けられる。
暗号学（CIAやKGBのような組織が資金提供）
流体力学（原子力潜水艦のメーカーが支援）
天体力学（NASAのようなミサイルを扱う軍事組織が資金提供）

暗号学は数論、有限体上の代数幾何学、代数学、組合せ論、コンピュータを生んだ。
流体力学は複素解析、偏微分方程式、リー群と代数論、コホモロジー論、科学計算を産出した。
天体力学は力学系、線形代数学、位相幾何学、変分法、シンプレクティック幾何学の起源である。

そういった部分は、かつて数学者たちが担っていたのと同じように、AIに委ねればいい。しかし、アーノルドはこう続けた。

これらすべての異なる領域間の神秘的な関係の存在こそが、数学の最も驚くべき、そして喜ばしい特徴である（合理的説明は一切ないのだが）。

数学に携わる身として、今回の意見は私の考えとは相容れない。現在の体制が、専門的な昇進のために新しい数学的発見を求めているのは知っているが、それは単なる「仕事」の側面に過ぎず、権力構造によって変化し得るものだ。私にとって、その発見が世界にとって新しいものかどうかに関わらず、数学を探求すること自体が楽しい。この不満は、「どこもかしこも既に行き尽くされていて、その場所で自分なりの個人的な経験をする以外にやることがない」と嘆くのに似ている。先日、初めてレッドウッドの森を見たとき、最初の発見者でなくてもその体験を心から楽しめた。数学的発見も同じことだ。ただし、今は退屈な作業、つまり他人が知っていることを調べるという作業を劇的に助けてくれるツールがある。昔は何かを解明するのに長い時間をかけ、ようやく最後に、それが既存の文献のどこにあるのかを見つけ出す……といった非常にフラストレーションの溜まることをしていた。今は、機械が多くのことや理解、明快な説明へと導いてくれる。彼らは、私たちが目指す場所に到達するのを助けてくれるガイドであり、その後は自由に放浪させてくれる。これは信じられないほど素晴らしいことだ。私は現在、自分の探求したいツールを開発するためにAIを使っている。

給料の出る仕事が消えたとして数学をする時間を捻出することについては、近い将来、世界は豊かさで満たされる可能性が高い。オーストリア学派の経済学者が言うように、人間が報酬を得て行う仕事は常にいくらでもあると信じている。それに、生活コストが下がれば数学をやりたい人は存分に時間を使えるはずだ。この人が今の不安を乗り越えて、AIがいかに自分の理解を加速させてくれるかを見ようとしてくれることを願う。誰も読まない、誰も気にしない論文を大量生産するAIには興味がないが、それは人間が作る莫大な論文についても同じことが言える。むしろ、AIはこれら膨大な知識を誰もが知ることができ、アクセスできるようにすることで、その価値を高めてくれている。それに、数学の就職市場がここ20年以上過飽和であるという事実もある。新しいツールのおかげで、研究図書館やトップレベルの数学科にアクセスできなくても、数学ができるようになるのだ。

具体的にどの予想が崩れたのかは知らないが、この状況は「オープンな予想」の質に関する問題を浮き彫りにしているのではないだろうか。

予想を立てる動機にはいろいろある。構造を探求したいという動機から「このオブジェクトはこう振る舞うはずだから、こう想像できる」といったもの。あるいは、経験則から「100万例チェックしたから、そろそろ予想を立てよう」というもの。数学において経験則にも価値はあるが、予想の動機としては最適ではないかもしれない。ビショップが言ったように、「意味がわかるまで、その命題が真かどうかは問うな」ということだ。経験的な証拠だけで予想を立てるなら、なぜそもそもその命題が真であると想像するのか、その根拠をもっと考えるべきだろう。

これを「ゴールポストの移動」と捉える人もいるだろうが、数学の終わりを告げるような反例の話を聞くたびに、そもそもその予想がどれほど強力なものだったのかと思ってしまう。繰り返すが、結果の詳細まで追いかけていないので的外れかもしれない。しかし、すべての予想が平等に価値あるものとして作られているわけではない、ということは知っておくべきだ。

私が数学をやっていた頃、自分の研究をするよりも、他人の研究を読むほうがずっとやりがいがあった。一つの疑問に何年もかけて少し進むより、数日か数週間かけて論文を読み、新しい発見に触れるほうが楽しかったんだ。みんなが自分と同じだとは思わないが、みんなが予測している「全知の数学者マシン」を私は心から歓迎するよ。自分が気になる問いをすべてぶつけるのが待ち遠しい。

すべてのナレッジワーカーが、この種の危機に直面することになる。自分の専門分野に深い情熱を注いできた人にとっては辛いだろうが、危機の形はどれも同じだ。乗り越える方法は、仕事との関わり方を変え、今や自分がはるかに多くの成果を生み出せるようになったという事実に感謝することだ。

数学者は気づくべきだ。個々の定理に何十年も費やすのではなく、今や数学のまったく新しいサブフィールドを作り上げることだってできるのだから。もちろん、昔の数学者のように直接的な創造を一人でするわけではない。今の時代、それはもはやゲームのルールではないのだ。だが、研究の舵を取り、創造のプロセスに関わり続けることはできるはずだ。

このエッセイに感謝。共感できた。

誰かがこう言った。

楽しんでいることをやるのを止める人なんていない。

でも、それは間違いだ。LLMは、ある種のことがもう楽しめなくなるような環境を作り出している。

例えば、2016年と比較して、2026年にプログラミング言語を学ぶ喜びは減っている。なぜなら、その有用性が今では低くなっているからだ。

テクノロジー関連の学位課程では、映画『カトリン先生（原題: The Man in the White Suit, 1951）』 https://youtu.be/RC8q1QSkE3M を鑑賞することを必須科目にすべきだ。

新しい技術が登場すると、それは人間の経験の何らかの側面を希薄化させる。なぜなら、古い、より困難なやり方で物事を行う才能を持っていた人々の重要性が低くなってしまうからだ。

その点において、AIは究極的だ。我々の知的才能の多くを無価値にしてしまう恐れがあるからね。

共感するし、救われる思いだ。

AIを使えばできることが増えたという高揚感と、それを自分でやっていないのなら何が楽しいんだろうという葛藤を感じている。日々が無意味に感じられるし、長年の猛烈なトレーニングを積んだ後で、自分のやりたいことの対価を誰が払ってくれるのかもわからない。